In diesem Artikel geht es um das Programm SURFER, welches es ermöglicht algebraische Flächen zu visualisieren.
Was ist eine algebraische Fläche und warum sollte ich sie visualisieren?
Eine algebraische Fläche ist eine zwei-dimensionale Oberfläche im drei-dimensionalen Raum, die man durch eine besonders einfache Art von Gleichung beschreiben kann. Algebraische Flächen tauchen vielerorts in der Schul-Mathematik (Kugeloberflächen, Zylinder, Kegel, ...), aber auch in der mathematischen Forschung auf.
Die Gleichung für eine Kugeloberfläche wäre `x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0`, wobei das `^` als 'hoch' zu lesen ist, das heisst `x^2` (x hoch zwei) ist gleichbedeutend mit `x*x` (x mal x). Grundsätzlich sind die erlaubten Flächen in SURFER die Nullstellen von Polynomen in den drei Variablen `x`, `y` und `z`. Ein Polynom ist ein Ausdruck, den man aus Zahlen und den Variablen `x`, `y` und `z`, durch (wiederholte) Multiplikation, Addition und Subtraktion zusammenbauen kann, und Nullstellen bedeutet, dass wir uns für die Punkte (x,y,z) im Raum interessieren, für die das Polynom den Wert Null annimmt.
SURFER ermöglicht es, spielerisch den Zusammenhang zwischen den algebraischen Gleichungen und den zugehörigen geometrischen Figuren zu verstehen.
Installation und Benutzung
SURFER ist freie Software und kann von der Website des Projekts für Linux als `.deb`- oder `.rpm`-Paket heruntergeladen werden. Versionen für Windows und Mac OS gibt es auch. Ich habe unter Manjaro die Debian-Version unter Distrobox und die Windows-Version unter Wine ausprobiert. Die Letztere funktionierte für mich etwas besser, da bei mir in der Debian-Version das Reskalieren des Anwendungsfensters nicht funktionierte.
Das Benutzeroberfläche ist relativ intuitiv, es gibt eine Bedienungsanleitung auf Deutsch, sowie eine Bildergalerie mit einigen sehr schönen Flächenbeispielen.
Bild 1: Die SURFER-Benutzeroberfläche
Im unteren Bereich rechts ist ein Eingabefeld für die Flächenformel. Alle relevanten Symbole sind links neben dem Eingabefeld als Buttons vorhanden, sodass zum Bedienen des Programms keine Tastatur notwendig ist. Über dem Eingabefeld sind Buttons zum Speichern, Laden und Exportieren der Bilder. Rechts neben dem Eingabefeld ist ein Haken, der einen vor ungültigen Formeln warnt, indem er zu einem Ausrufezeichen wird. Darüber ist ein Button zur Sprachauswahl. Im Hauptbereich wird die Fläche angezeigt und kann mit der Maus gedreht werden. Rechts ist ein Schieberegler, mit dem man den Zoomfaktor einstellen kann.
Auf der linken Seite kann man die Farbe für die Innen- und Aussenseite der Fläche aussuchen. Wenn man darunter auf 'Start' klickt, landet man im Tutorial, und kann eine bestehende Galerie von Flächen erkunden (und durch anklicken anfangen selbst damit zu spielen).
Flächen deformieren mit Parametern
Nebst Variablen x, y, z kann man in SURFER bis zu vier Parameter a, b, c, d in die Formel einbauen. Dann tauchen in der Benutzeroberfläche auf der rechten Seite neben dem Zoom-Schieberegler weitere Schieberegler auf, mit denen man den Wert des Parameters zwischen 0 und 1 variieren kann.
Bild 2: Eine Fläche, die von vier Parametern a, b, c, d abhängt
Eine besonders schöne Art, dies zu verwenden, ist es, eine Fläche graduell in eine andere zu verwandeln. Dazu sucht man sich zwei Flächen, wie zum Beispiel die herzförmige vom Titelbild `P=((x^2+9/4*y^2+z^2-1)^3-x^2*z^3-9/80*y^2*z^3)` und die Kugeloberfläche `Q=(x^2+y^2+z^2-1)` und bildet den Ausdruck `a*P + (1-a)*Q`.
a*((x^2+9/4*y^2+z^2-1)^3-x^2*z^3-9/80*y^2*z^3) + (1-a)*(x^2+y^2+z^2-1)Für `a=1` hat man dann das Polynom P, und für `a=0` das Polynom Q. Während `a` graduell von 1 zu 0 wechselt, verwandelt sich die Fläche graduell aus einem Herz in eine Kugeloberfläche.
Bild 3: Wir bewegen den Schieberegler für a von 1 nach 0, und das Herz verwandelt sich in eine Kugel.
Ein Beispiel für eine etwas kompliziertere Transformation kann man in diesem Video anschauen.
Auf der Website von Imaginary, dem Betreiber von SURFER, gibt es zusätzlich zu einigen SURFER-Bildern und Videos, auch viele weitere Programme und Projekte für die Vermittlung von Mathematik.